Mathématiques

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Comment calculer des distances ? (modèle 1)

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Comment démontrer un parallélisme de droites ? (modèle 2 )

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Comment partager un segment en des segments de même longueur ?

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Vidéo 1 : Comment appliquer les règles de priorité ?

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Vidéo 2 : Comment factoriser une expression ?

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Vidéo 3 : Comment simplifier une fraction rationnelle ?

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">Le calcul numérique est l'une des plus anciennes activités mathématiques. Depuis l'Antiquité, des civilisations comme celles de l'Égypte antique et de la Mésopotamie utilisaient déjà les nombres pour compter, mesurer les terres, construire et commercer. Aujourd'hui encore, le calcul numérique demeure un outil essentiel qui permet de manipuler les nombres afin de résoudre des problèmes concrets de la vie quotidienne, par exemple dans la construction des ponts, l'aéronautique, l'économie ou encore la technologie.</p><p style="margin:0 0 12px;">Nous connaissons déjà et savons utiliser les inégalités strictes. En classe de quatrième, nous avons également étudié la transformation des inéquations du premier degré. En classe de troisième, l'introduction des inégalités larges ainsi que de la notion d'intervalle permettra, d'une part, d'élargir les types d'inéquations du premier degré étudiées et, d'autre part, d'exprimer l'ensemble des solutions d'une inéquation ou d'un système d'inéquations sous la forme d'un intervalle ou de l'ensemble vide.</p><p style="margin:0 0 12px;">Par ailleurs, cette leçon nous permettra de renforcer nos outils de comparaison des nombres réels et de mettre en place des méthodes d'encadrement des nombres réels.</p><p style="margin:0 0 8px;">Nous réviserons cette leçon en suivant le plan suivant :</p><ul style="margin:0; padding-left:22px;"><li>Intervalles</li><li>Inégalités et opérations</li><li>Comparaison de nombres réels</li><li>Encadrement</li><li>Arrondi d'un nombre réel</li></ul></div>

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">Depuis l'Antiquité, les hommes cherchent à mesurer et comparer les angles pour mieux comprendre les formes et les mouvements.</p><p style="margin:0 0 12px;">Dans l'ancienne Égypte antique, on savait déjà qu'un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle. Cette propriété a ensuite été formulée de manière rigoureuse par le mathématicien grec Thalès de Milet.</p><p style="margin:0 0 12px;">Les angles interviennent dans de nombreux domaines de la vie courante. Ils sont utilisés en architecture et en construction pour concevoir des structures circulaires comme les dômes ou les arches, mais aussi dans certaines technologies modernes, par exemple dans la fibre optique.</p><p style="margin:0 0 12px;">En classe de quatrième, nous avons étudié la notion d'angle au centre dans un cercle. En classe de troisième, nous allons découvrir la notion d'angle inscrit et les relations qui existent entre les angles inscrits et les angles au centre interceptant le même arc.</p><p style="margin:0 0 8px;">Dans cette leçon, nous étudierons successivement :</p><ul style="margin:0; padding-left:22px;"><li>Les angles inscrits</li><li>Les angles aigus inscrits et les angles au centre associés</li><li>Les propriétés des angles inscrits</li></ul></div>

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Commentaire de la leçon

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Commentaire de la leçon

<p style="font-size:1.2rem; line-height:1.6;">La notion de racine carrée trouve son origine dans les mathématiques babyloniennes et égyptiennes, plus de 1700 ans avant notre ère, où l'on cherchait déjà à déterminer le côté d'un carré connaissant son aire. Les mathématiciens grecs, puis arabes, ont ensuite formalisé les règles de calcul sur ces nombres.</p><p style="font-size:1.2rem; line-height:1.6;">Cette leçon présente la définition de la racine carrée d'un nombre positif, ses propriétés fondamentales, les opérations sur les racines carrées (produit, quotient, somme, différence, puissance), ainsi que la notion de valeur absolue d'un nombre réel et les techniques permettant d'écrire un quotient sans radical au dénominateur.</p>

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">Le triangle rectangle est l'une des figures les plus anciennement étudiées en géométrie. Dès l'Antiquité, les Égyptiens utilisaient des cordes à treize noeuds, régulièrement espacés, pour construire des angles droits sur les chantiers et délimiter les champs après les crues du Nil, en s'appuyant sur le triplet (3 ; 4 ; 5).</p><p style="margin:0 0 12px;">C'est cependant le mathématicien grec Pythagore (vers 580&ndash;495 avant Jésus-Christ) qui est traditionnellement associé à la démonstration de la relation liant les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, relation portant aujourd'hui son nom. Plus tard, les outils de la trigonométrie (sinus, cosinus, tangente) se sont développés, notamment grâce aux travaux d'astronomes et de mathématiciens grecs, indiens puis arabes, pour permettre de calculer des longueurs et des angles inaccessibles à la mesure directe.</p><p style="margin:0 0 12px;">Ces outils sont aujourd'hui indispensables dans de nombreux domaines&nbsp;: l'architecture, la navigation, la topographie, l'astronomie ou encore l'informatique graphique. En classe de quatrième, tu as découvert la propriété de Pythagore et sa réciproque, ainsi que les premières notions de trigonométrie dans le triangle rectangle. En classe de troisième, nous allons consolider et approfondir ces notions.</p><p style="margin:0 0 8px;">Nous allons réviser cette leçon, en suivant le plan suivant :</p><ul style="margin:0; padding-left:22px;"><li>Relations métriques dans un triangle rectangle</li><li>Trigonométrie dans un triangle rectangle</li></ul></div>

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">Le mot vecteur vient du latin <em>vehere</em>, qui signifie conduire ou transporter. La notion moderne de vecteur a été introduite au XIX^e siècle par le mathématicien italien Giusto Bellavitis, qui parlait alors de segments équipollents. Depuis, les vecteurs sont devenus un outil essentiel en mathématiques et en science physique.</p><p style="margin:0 0 12px;">Aujourd'hui, les vecteurs permettent de représenter des déplacements, des forces ou des vitesses. Ils sont très utilisés en physique pour représenter les forces et les mouvements, mais aussi en cartographie pour déterminer des directions et des trajectoires.</p><p style="margin:0 0 12px;">En classe de quatrième, nous avons déjà étudié plusieurs notions liées aux vecteurs : vecteurs égaux, vecteurs opposés, somme de vecteurs avec l'égalité de Chasles, ainsi que leur utilisation pour caractériser un parallélogramme ou déterminer le milieu d'un segment.</p><p style="margin:0 0 12px;">En classe de troisième, nous allons approfondir ces notions et introduire de nouveaux outils comme la multiplication d'un vecteur par un nombre réel, les vecteurs colinéaires et les vecteurs orthogonaux.</p><p style="margin:0 0 8px;">Dans cette leçon, nous étudierons successivement :</p><ul style="margin:0; padding-left:22px;"><li>Différence de deux vecteurs</li><li>Produit d'un vecteur par un nombre réel</li><li>Vecteurs colinéaires</li><li>Vecteurs orthogonaux</li></ul></div>

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">Les équations du premier degré sont connues depuis l'Antiquité. Des tablettes babyloniennes datant d'environ 1700 avant Jésus-Christ montrent que les Babyloniens savaient déjà résoudre ce type d'équations à l'aide de méthodes systématiques.</p><p style="margin:0 0 12px;">Les symboles d'inégalité &laquo;&nbsp;supérieur à&nbsp;&raquo; et &laquo;&nbsp;inférieur à&nbsp;&raquo; apparaissent beaucoup plus tard dans les travaux du mathématicien anglais Thomas Harriot (1560-1621). Par la suite, en 1734, le mathématicien français Pierre Bouguer introduit l'usage des symboles &laquo;&nbsp;supérieur ou égal à&nbsp;&raquo; et &laquo;&nbsp;inférieur ou égal à&nbsp;&raquo;.</p><p style="margin:0 0 12px;">Les équations et les inéquations du premier degré sont très utiles dans la vie courante. Elles permettent par exemple de déterminer une quantité inconnue, calculer un prix, comparer des valeurs ou résoudre des situations concrètes liées aux distances, aux durées ou aux dépenses.</p><p style="margin:0 0 12px;">Dans les classes précédentes, nous avons déjà rencontré les équations et les inéquations sous différentes formes. En classe de quatrième, nous avons consolidé les techniques permettant de résoudre des équations du premier degré dans Q et appris à déterminer les solutions d'une inéquation du premier degré dans Q. En classe de troisième, nous étendrons ces méthodes à R. Nous apprendrons également à résoudre des systèmes d'inéquations du premier degré et des problèmes faisant intervenir des équations et des inéquations du premier degré dans R.</p><p style="margin:0 0 8px;">Nous allons réviser cette leçon, en suivant le plan suivant :</p><ul style="margin:0; padding-left:22px;"><li>Équations du premier degré dans R</li><li>Inéquations du premier degré dans R</li><li>Système d'inéquations du premier degré dans R</li><li>Résolution d'un problème du premier degré dans R</li></ul></div>

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">La notion de coordonnées a été introduite au XVII^e siècle par le mathématicien et philosophe français René Descartes, qui eut l'idée de repérer chaque point du plan par deux nombres. Cette invention a permis de faire le lien entre la géométrie et l'algèbre&nbsp;: on peut désormais calculer sur des figures géométriques comme on calcule sur des nombres.</p><p style="margin:0 0 12px;">Associer des coordonnées à un vecteur permet de manipuler la géométrie du plan de façon purement numérique&nbsp;: déterminer si des points sont alignés, si des droites sont parallèles ou perpendiculaires, calculer des longueurs ou des milieux, sans avoir à tracer de figure. Ces outils sont largement utilisés en physique, en architecture, en infographie ou encore dans les systèmes de géolocalisation (GPS).</p><p style="margin:0 0 12px;">En classe de quatrième, tu as appris à lire les coordonnées d'un point dans un repère. Dans cette leçon, nous allons associer des coordonnées aux vecteurs, apprendre à calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d'un vecteur par un nombre réel, reconnaître des vecteurs colinéaires ou orthogonaux à l'aide de leurs coordonnées, et effectuer des calculs de distances et de milieux dans un repère.</p><p style="margin:0 0 8px;">Nous allons réviser cette leçon, en suivant le plan suivant&nbsp;:</p><ul style="margin:0; padding-left:22px;"><li>Coordonnées d'un vecteur</li><li>Coordonnées de la somme de deux vecteurs</li><li>Coordonnées du produit d'un vecteur par un nombre réel</li><li>Vecteurs colinéaires &ndash; vecteurs orthogonaux</li><li>Calculs dans un repère</li></ul></div>

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">La notion d'application affine généralise la proportionnalité étudiée dans les classes antérieures. Une application linéaire (de la forme f(<em>x</em>)=<em>ax</em>) traduit une situation de proportionnalité pure&nbsp;; en y ajoutant une constante, on obtient une application affine (f(<em>x</em>)=<em>ax</em>+<em>b</em>), qui permet de modéliser de nombreuses situations concrètes comportant un coût fixe ou une valeur de départ&nbsp;: facturation avec abonnement, conversion de température, tarifs avec frais fixes...</p><p style="margin:0 0 12px;">Ces fonctions sont représentées graphiquement par des droites, ce qui permet une lecture directe des informations&nbsp;: images, antécédents, sens de variation. En classe de troisième, nous allons étudier les applications affines et linéaires, apprendre à les représenter graphiquement, à déterminer leur expression à partir de données, et à étudier leur sens de variation.</p><p style="margin:0 0 8px;">Nous allons réviser cette leçon, en suivant le plan suivant&nbsp;:</p><ul style="margin:0; padding-left:22px;"><li>Applications affines</li><li>Applications linéaires</li><li>Représentation graphique d'une application affine</li><li>Détermination de l'expression d'une application affine connaissant deux nombres réels et leurs images</li><li>Sens de variation d'une application affine</li></ul></div>

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Comment construire un patron de pyramide régulière ?

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Comment calculer l’aire totale d’une pyramide régulière ?

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Comment calculer le volume d’une pyramide régulière ?

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Comment construire un patron d’un cône de révolution ?

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Comment calculer l’aire totale d’un cône de révolution ?

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Comment calculer le volume d’un cône de révolution ?

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">Les pyramides d'Égypte, vieilles de plus de 4500 ans, restent parmi les plus grandes prouesses architecturales de l'humanité. Leur forme géométrique — une base polygonale surmontée de faces triangulaires se rejoignant en un sommet — a fasciné mathématiciens et bâtisseurs de toutes les époques. Le cône de révolution, quant à lui, se retrouve partout autour de nous&nbsp;: un chapeau pointu, un cornet de glace, le toit d'une tourelle ou encore un entonnoir.</p><p style="margin:0 0 12px;">Dès l'Antiquité, les savants égyptiens et grecs cherchaient déjà à calculer le volume de ces solides pour évaluer des quantités de pierre, de grain ou de liquide. C'est Eudoxe de Cnide, puis Archimède, qui établirent que le volume d'une pyramide (ou d'un cône) est égal au tiers du volume du prisme (ou du cylindre) de même base et de même hauteur — un résultat que nous redémontrerons et utiliserons dans cette leçon.</p><p style="margin:0;">Dans cette leçon, tu apprendras à reconnaître une pyramide régulière et un cône de révolution, à construire leur patron, puis à calculer leurs aires (latérale et totale) et leur volume. Ces notions te seront utiles pour résoudre des problèmes concrets liés à la fabrication d'objets, à l'architecture ou à l'emballage.</p></div>

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">Comment déterminer les quantités de deux produits à acheter avec un budget limité&nbsp;? Comment trouver une solution qui respecte plusieurs conditions en même temps&nbsp;? Ces situations de la vie courante nécessitent souvent de prendre en compte plusieurs contraintes simultanément. Les équations et inéquations du premier degré dans R&times;R permettent justement de modéliser et de résoudre ce type de problèmes.</p><p style="margin:0 0 12px;">Dès l'Antiquité, les Babyloniens (vers 1700 av. J.-C.) savaient déjà résoudre des problèmes faisant intervenir plusieurs inconnues. Aujourd'hui, ces méthodes sont largement utilisées en économie, en planification et dans la prise de décision, pour trouver des solutions qui vérifient plusieurs conditions à la fois.</p><p style="margin:0 0 12px;">Nous avons déjà étudié les équations et inéquations du premier degré dans R. Dans cette leçon, nous allons aller plus loin en introduisant deux inconnues et en travaillant dans R&times;R. Nous apprendrons à reconnaître des équations et des inéquations du premier degré à deux inconnues, ainsi qu'à résoudre des systèmes d'équations et d'inéquations. Nous utiliserons également ces outils pour résoudre des situations concrètes.</p><p style="margin:0 0 8px;">Nous allons réviser cette leçon, en suivant le plan suivant&nbsp;:</p><ul style="margin:0; padding-left:22px;"><li>Équations du premier degré dans R&times;R</li><li>Inéquations du premier degré dans R&times;R</li><li>Système d'équations du premier degré dans R&times;R</li><li>Système d'inéquations du premier degré dans R&times;R</li><li>Problèmes du premier degré dans R&times;R</li></ul></div>

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">Comment prévoir le prix total de plusieurs articles&nbsp;? Comment représenter l'évolution d'une distance en fonction du temps ou interpréter un graphique&nbsp;? Dans toutes ces situations, il s'agit de comprendre comment une grandeur dépend d'une autre. Les équations de droites permettent justement de modéliser ces relations simples et régulières.</p><p style="margin:0 0 12px;">Cette idée trouve son origine au XVII^e siècle avec les travaux du mathématicien français René Descartes. En introduisant le repère cartésien, il a permis de représenter les points du plan à l'aide de coordonnées et de traduire une droite par une équation&nbsp;: c'est la naissance de la géométrie analytique.</p><p style="margin:0 0 12px;">Depuis l'école primaire jusqu'aux classes du cycle d'observation, nous avons appris à reconnaître et à tracer des droites (sécantes, parallèles ou perpendiculaires). En classe de troisième, nous allons franchir une nouvelle étape en passant du cadre géométrique à une approche algébrique. Nous apprendrons à déterminer une équation de droite, à tracer une droite à partir de son équation et à étudier la position relative de deux droites à partir de leurs équations.</p><p style="margin:0 0 8px;">Nous allons réviser cette leçon, en suivant le plan suivant&nbsp;:</p><ul style="margin:0; padding-left:22px;"><li>Équations d'une droite</li><li>Coefficient directeur d'une droite</li><li>Construction d'une droite</li><li>Détermination d'équations de droites</li><li>Position relative de deux droites</li></ul></div>

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Commentaire de la leçon

<div style="font-size:1.2rem; line-height:1.7;"><p style="margin:0 0 12px;">Le mathématicien, économiste et philosophe français Antoine Augustin Cournot (XIX^e siècle) définit la statistique, dans son ouvrage <em>Théorie des chances et des probabilités</em>, comme une science qui consiste à recueillir, organiser et analyser des données nombreuses afin de mettre en évidence des régularités au-delà des effets du hasard.</p><p style="margin:0 0 12px;">Aujourd'hui, la statistique occupe une place essentielle dans de nombreux domaines de la vie courante. Elle permet de résumer, analyser et interpréter des données pour prendre des décisions éclairées, notamment en économie, en santé, en éducation ou encore dans la vie sociale.</p><p style="margin:0 0 12px;">Dans les classes antérieures, nous avons découvert les notions de base telles que population, individu, caractère, modalité, effectif, fréquence, mode et moyenne, ainsi que certains types de représentations graphiques. En classe de troisième, nous allons approfondir ces connaissances en introduisant de nouvelles notions, telles que les effectifs cumulés croissants, les fréquences cumulées croissantes et la médiane d'une série statistique. Ces outils nous permettront de mieux analyser des données et de résoudre des problèmes concrets.</p><p style="margin:0 0 8px;">Nous allons réviser cette leçon, en suivant le plan suivant&nbsp;:</p><ul style="margin:0; padding-left:22px;"><li>Effectifs cumulés croissants&nbsp;; fréquences cumulées croissantes</li><li>Médiane d'une série statistique</li><li>Regroupement en classes de même amplitude</li><li>Représentations graphiques</li></ul></div>